程序员不得不了解的计算机进制转换

最近在备考软考的软件设计师考试，学到了关于计算机的数据表示，由于我是半路出家学的Java，导致计算机基础知识很差，在这里记录一下学习感受

为啥要用二进制

早期计算机的存储介质是晶体管，晶体管根据电压不同，只能表示2种状态，也就是0和1
计算机使用二进制运算更加方便

更详细的请参考计算机为啥采用二进制

为啥要用十六进制

首先，假如你的计算机是32位的机器，数字1在计算机中的表示就是0000000000000000001,
假如你是要操作内存，用这么长一串二进制数，是不是感觉有点头大，1位16进制数可以表示4位二进制数，
那数字1用16进制来表示就是1H，是不是感觉清爽多了。

进制转换的原理

阅读本章之前需要明确的点

进制数的位数从右到左，分别表示从高到低，我们称右边的数为高位，左边的数为低位
一位八进制数最多表示三位二进制数，一位十六进制数最多表示4位二进制数

十进制转二进制、八进制、十六进制

对于10进制转其他进制，一般是使用除法取余数的方式进行计算

例如将数字151 转换为二进制

被除数  ÷  除数  =  商  ... 余数
151 ÷ 2 = 75 ... 1 
75 ÷ 2 = 37 ... 1 
37 ÷ 2 = 18 ... 1 
18 ÷ 2 = 9 ... 0 
9 ÷ 2 = 4 ... 1
4 ÷ 2 = 2 ... 0 
2 ÷ 2 = 1 ... 0 
1 ÷ 2 = 0 ... 1
将每一步得到的余数从下往上依次排列，得到 10010111，即151的二进制表示。

转为八进制

151 ÷ 8 = 18 ... 7
18 ÷ 8 = 2 ... 2
2 ÷ 8 = 0 ... 2
151的8进制表示为227

转为十六进制

151 ÷ 16 = 9 ... 7 
9 ÷ 16 = 0 ... 9
因此，151的16进制数为97

二进制、八进制、十六进制转十进制

对于其他进制转换为10进制，我们一般是采用按权展开法，并且具有公式

r 为进制单位假如数字为二进制则r = 2
n 为数字的位数，例如有一个二进制数 1001，则它的n为4
$a_{n}$ 表示取数字的第几位假如有一个二进制数1001，那么$a_{n}$ 就为1

例如: 十进制数11的二进制数为1011

使用按权展开法,首先该二进制数有4位，所以n为4,可以得出以下式子

对于八进制，十六进制都是使用该方法转换为10进制

二进制、八进制、十六进制之间互相转换

将二进制数转换为八进制数，需要先将二进制数转换为10进制，然后将10进制数转换为八进制

这种转换方式有点麻烦，如果不是很大的数字，可以看下一章，快速转换

快速转换进制的方法

快速转换可以通过查表的方式快速转换

十进制	二进制	八进制	十六进制
0	0	0	0
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	3	3
4	100	4	4
5	101	5	5
6	110	6	6
7	111	7	7
8	1000	–	8
9	1001	–	9
10	1010	–	A
11	1011	–	B
12	1100	–	C
13	1101	–	D
14	1110	–	E
15	1111	–	F

在这个表格中，每个进制的数字都有对应的二进制、八进制、十进制、十六进制数。例如，十进制数2对应二进制数10，八进制数2和十六进制数2都是用数字2来表示，十六进制数F对应二进制数1111。使用这个表格可以快速地进行不同进制之间的转换。

这种方式对于二进制、八进制、十六进制之间的转换非常有效

例如将二进制数10101转换为十六进制

首先一个十六进制数最多表示4位进制数
从低位取4位二进制数 0101 在16进制下没有发现该数字，将高位的0去掉得到 101，查到16进制数5
继续从低位再取4位，发现只有1了,那它的16进制数就是1
从低位到高位组合16进制数得到 15

进制加减法

还记得小学我们学的十进制加减法不，即满十进一法.
其实对于二进制，八进制，16进制数可分别对应满二进一，满八进一，满16进一.

请参考 16进制加减法

二进制计算符号位溢出问题

学习该章首先要明确的点

计算机中的位，表示的是CPU的寻址空间大小
计算机中二进制(原码)数字的首位为符号位，0表示正数，1表示负数
这里也可以理解为数字表示的最大二进制位数

首先假如我们在一个字长为8位的计算机中进行运算 5 + 7

将它们转换为2进制运算 00000101 + 00000111 = 00001100
00001100 = 12

那假如是 -5 + -7 呢

转换为二进制运算就是，10000101 + 10000111 = 100001100

100001100 计算出来的二进制数变成了9位，8位下的计算计算机咋能表示9位呢，那把首位的1去掉就变成了00001100 = 12

额，为啥两个负数相加咋变成正数了，计算机是不是傻了。我们下节继续

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