文章目录
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- 线性代数研究对象
- 主要问题
-
- 联系
- 核心概念
- 核心定理
- 核心操作和运算
-
- 基础
- 高级
- 小结
- 性质和推导方法
-
- 问题转换为线性方程组求解问题
- 验证和推导性质定理
线性代数研究对象
- 线性代数的研究对象主要是行列式和矩阵(向量)
- 矩阵这种对象可以做的操作和运算很多,特别是方阵,它们的计算量天然就有较大的特点,
- 例如:伴随矩阵的计算,矩阵乘法,计算逆矩阵等,其中又以矩阵乘法运算最为重要,几乎贯穿整个学科的始终,是许多其他概念和计算的基础
主要问题
为了解决几个重要问题,提出了许多概念,例如秩,初等变换和基于这些概念的方法
- 矩阵方程和线性方程组的解
- 向量组的线性相关性
- 特征值和特征向量问题
- 矩阵(方阵)相似对角化问题
- 二次型问题
联系
-
向量组线性相关问题和特征值和特征向量问题,本质上可以转化为线性方程组的解的问题
-
例如向量组
A
A
A线性相关用线性方程组描述为
A
x
=
0
bold{Ax=0}
Ax=0
(1)
存在非零解,这又等价于R
(
A
)
R(A)n问题(其中
n
n
n为
x
bold{x}
x的维数,或向量组
A
A
A包含的向量个数)
-
向量组
B
B
B能够由
A
A
A线性表出,则
A
X
=
B
bold{AX=B}
AX=B
(2)
有解 -
矩阵
A
bold{A}
A关于特征值
lambda
服务器托管网的特征向量
A
=
bold{Aalpha=lambdaalpha}
A=
(3)
求解,可以转换为线性方程组(
E
−
A
)
=
0
(lambdabold{E}-A)alpha=bold{0}
(E−A)=0
(3-1)
或(
A
−
E
)
=
0
(bold{A}-lambdabold{E})alpha=0
(A−E)=0
(3-2)
有求非零解问题(方程(3,3-1,3-2)是等价方程)- 其中行列式
∣
E
−
A
∣
|lambdabold{E}-bold{A}|
(4)
是方阵A
bold{A}
0
0
- 由此可以求出所有特征值
- 再分别求出矩阵
A
bold{A}
E
−
A
=
0
lambda{bold{E}}-bold{A}=bold{0}
- 其中行列式
-
特征值和特征向量为矩阵相似对角化可行性的判定作铺垫,矩阵
A
A
A的
k
i
k_i
ki重特征值
i
lambda_{i}
i具有
k
i
k_i
ki个线性无关特征向量时,矩阵
A
A
A可以对角化
-
二次型
f
(
x
1
,
⋯
,
x
n
)
f(x_1,cdots,x_{n})
f(x1,⋯,xn)=
x
T
A
x
bold{x^{T}Ax}
xTAx的问题,本质上二次型的对称阵
A
bold{A}
A问题
-
二次型标准化问题对应于
A
bold{A}
A的相似对角化问题
-
对称阵
A
bold{A}
A一定可以相似对角化,而且是正交相似对角化,
-
一定存在正交阵
Q
bold{Q}
Q(
Q
T
=
Q
−
1
bold{Q^{T}=Q^{-1}}
QT=Q−1)使得
Q
T
A
Q
bold{Q^{T}AQ}
QTAQ=
Q
−
1
A
Q
bold{Q^{-1}AQ}
Q−1AQ=
Lambda
-
或者说
A
bold{A}
A相似且合同于某个对角阵
Lambda
=
d
i
a
g
(
1
,
⋯
,
n
)
mathrm{diag}(lambda_1,cdots,lambda_n)
diag(1,⋯,n),其中
1
,
⋯
,
n
lambda_1,cdots,lambda_{n}
1,⋯,n是
A
bold{A}
A的特征值)
-
-
二次型规范化问题:任何二次型都可以规范化
-
二次型(对应矩阵)正定问题
-
-
核心概念
-
基本概念:
- 行列式
- 矩阵
- 线性方程组
-
抽象概念
- 矩阵的秩
- 向量组的秩
核心定理
-
线性方程组有解判定定理及其推广
-
A
x
=
b
bold{Ax=b}
-
A
X
=
B
bold{AX=B}
- 判定条件:
R
(
A
)
=
R
(
A
,
B
)
R(bold{A})=R(bold{A,B})
-
-
向量组线性相关性判定定理
- 本质上是线性方程组的应用,将向量组线性相关性问题通过建立对应的线性方程组,转化为分析方程组解的情况问题
- 向量组线性相关有许多结论,这些结论很多都可以用本定理推导证明
-
秩的相关定理
- 由于线性方程组判定定理涉及到秩,因此关于秩相关定理和常用
- 例如
- 矩阵作初等行变换不改变秩
-
R
(
A
)
⩽
R
(
A
,
B
)
R(bold{A})leqslant{R(bold{A,B})}
核心操作和运算
基础
- 转置运算
- 内积运算
- 矩阵乘法运算
- 初等变换运算
- 向量单位化运算
高级
- 方阵行列式运算
- 矩阵(向量组)秩
- 求逆运算
- 对角化
小结
- 矩阵乘法和初等变换是最核心的矩阵操作
性质和推导方法
问题转换为线性方程组求解问题
- 大多数问题都可以和线性方程组的求解问题挂钩,通过构造线性方程组来研究线性代数的大多数问题
- 而线性方程组的解由依赖矩阵乘法和矩阵的秩
- 矩阵乘法负责问题表达和转换
- 而系数矩阵和增广矩阵的秩的判定直接决定了线性方程组解的情况
- 而矩阵的秩又依赖于初等变换
- 可见初等变换和矩阵乘法的重要性
- 而线性方程组的解由依赖矩阵乘法和矩阵的秩
验证和推导性质定理
- 线性代数中有很多利用运用构造法,化归法,反证法的例子
-
例如证明
R
(
A
+
B
)
⩽
R
(
A
)
+
R
(
B
)
R(A+B)leqslant{R(A)+R(B)}
R(A+B)⩽R(A)+R(B)的过程中,我们可以构造
(
A
+
B
B
)
begin{pmatrix}A+BBend{pmatrix}
(A+BB),再利用更加基础的结论证明它:
-
(
A
+
B
B
)
begin{pmatrix}A+BBend{pmatrix}
(
A
B
)
begin{pmatrix}ABend{pmatrix}
-
R
(
A
)
,
R
(
B
)
R(A),R(B)
⩽
leqslant
R
(
A
B
)
Rbegin{pmatrix}ABend{pmatrix}
⩽
leqslant
R
(
A
)
+
R
(
B
)
R(A)+R(B)
- 换元代入完成证明
-
-
构造齐次线性方程组
A
x
=
0
bold{Ax=0}
Ax=0,通过研究其解的情况来研究向量组
A
A
A的线性相关性
-
反证法:许多关于存在性的命题和结论可以用反证法证明,例如线性相关性命题
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